matemática

(FUVEST 2023 - Primeira Fase)

- Tema: Logaritmo e G.A

No plano cartesiano, os pontos (3,2) e (5,4) pertencem ao gráfico da função dada por

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑎𝑥 + 𝑏).

O valor de 𝑎+𝑏 é:

a) -8

b) -6

c) 0

d) 4

e) 8

O problema fornece dois pontos (3,2) e (5,4) que pertencem ao gráfico da função y = log₂(ax + b). Substituindo esses pontos na equação, obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas (a e b):

 

Equação 1: 2 = log₂(3a + b)

 

Equação 2: 4 = log₂(5a + b)

 

Podemos reescrever essas equações na forma exponencial:

 

Equação 1: 2² = 3a + b => 4 = 3a + b

 

Equação 2: 2⁴ = 5a + b => 16 = 5a + b

 

Agora temos um sistema de duas equações lineares:

 

4 = 3a + b

16 = 5a + b

 

Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos b:

 

16 - 4 = (5a + b) - (3a + b)

12 = 2a

a = 6

 

Substituindo o valor de a na primeira equação:

 

4 = 3(6) + b

4 = 18 + b

b = 4 - 18

b = -14

 

Portanto, a + b = 6 + (-14) = -8

 

A resposta correta é a) -8